Persamaan Diferensial Elementer dan Masalah Nilai Batas: Dari Persamaan Orde Tinggi ke Sistem Orde Pertama

Transisi dari persamaan diferensial orde tinggi ke sistem orde pertama merepresentasikan perubahan pandangan yang mendalam. Alih-alih melacak percepatan satu variabel, kita mengembangkan sebuah vektor ruang keadaan yang mewakili posisi, kecepatan, dan turunan lebih tinggi secara bersamaan. Setiap persamaan linear orde ke-$n$ dapat diuraikan menjadi sistem terhubung dari $n$ persamaan orde pertama, memungkinkan kita menggunakan seluruh kekuatan aljabar matriks.

1. Metode Penurunan Orde

Untuk mengubah persamaan skalar orde ke-$n$ $y^{(n)} = F(t, y, y', \dots, y^{(n-1)})$, kita mendefinisikan sejumlah variabel bantu:

$$x_1 = y, x_2 = y', \dots, x_n = y^{(n-1)}$$

Substitusi ini menghasilkan persamaan vektor $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(t, \mathbf{x})$. Untuk osilator mekanik klasik yang digambarkan oleh $$mu'' + \gamma u' + ku = F(t)$$, transformasi menghasilkan:

$x_1' = x_2$
$x_2' = -\frac{k}{m}x_1 - \frac{\gamma}{m}x_2 + \frac{1}{m}F(t)$

Contoh 1: Transformasi Pegas-Massa

Masalah

Gerakan suatu sistem pegas-massa tertentu digambarkan oleh persamaan diferensial orde dua $u'' + \frac{1}{8}u' + u = 0$. Tulis ulang persamaan ini sebagai sistem persamaan orde pertama.

Substitusi

Misalkan $x_1 = u$ (posisi) dan $x_2 = u'$ (kecepatan). Maka, $x_1' = x_2$.

Bentuk Matriks

Substitusi ke dalam ODE: $x_2' + \frac{1}{8}x_2 + x_1 = 0 \Rightarrow x_2' = -x_1 - \frac{1}{8}x_2$.

$$\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1/8 \end{pmatrix} \mathbf{x}$$

2. Sistem Fisika Terhubung

Meskipun penurunan orde merupakan kemudahan matematis untuk persamaan tunggal, sistem persamaan muncul secara alami dalam lingkungan yang kompleks:

Sistem Mekanik: Sistem multi-massa (seperti Gambar 7.1.1) melibatkan gaya terhubung di mana gerakan satu massa memengaruhi yang lain melalui Hukum Hooke.
Tangki yang Terhubung: Aliran fluida antar tangki (Gambar 7.1.6) bergantung pada Hukum Konservasi Massa, di mana laju perubahan garam di Tangki 1 bergantung pada konsentrasi di Tangki 2.
Lingkaran Listrik: Menggunakan hubungan konstitutif $$V = RI, C \frac{dV}{dt} = I, L \frac{dI}{dt} = V$$, kita membangun sistem yang menggambarkan evolusi simultan tegangan dan arus melalui induktor (L), kapasitor (C), dan resistor (R).

🎯 Prinsip Utama

Dengan memperlakukan turunan sebagai variabel independen dalam vektor, kita mengubah kompleksitas "laju perubahan dari laju perubahan" menjadi rotasi dan penskalaan geometris dalam ruang keadaan.

PERTANYAAN 1

Ubah persamaan $u'' + 0.5u' + 2u = 0$ menjadi sistem orde pertama. Apa sistem persamaan yang benar?

$x_1' = x_2, x_2' = -2x_1 - 0.5x_2$

$x_1' = x_2, x_2' = 2x_1 + 0.5x_2$

$x_1' = -0.5x_1, x_2' = -2x_2$

$x_1' = x_2, x_2' = -0.5x_1 - 2x_2$

PERTANYAAN 2

Untuk masalah nilai awal (IVP) $u'' + 0.25u' + 4u = 2\cos(3t)$ dengan $u(0) = 1, u'(0) = -2$, apa kondisi awal yang ditransformasi untuk vektor $\mathbf{x}(0)$?

$x_1(0) = 1, x_2(0) = -2$

$x_1(0) = -2, x_2(0) = 1$

$x_1(0) = 1, x_2(0) = 0$

$x_1(0) = 4, x_2(0) = 0.25$

PERTANYAAN 3

Dalam sistem tangki yang terhubung (Gambar 7.1.6), jika Tangki 1 mengalir ke Tangki 2, mengapa sistem persamaan menjadi 'terhubung'?

Karena laju perubahan di Tangki 2 bergantung pada konsentrasi garam di Tangki 1.

Karena konstanta gravitasi sama untuk kedua tangki.

Karena volume air total harus tetap persis sama.

Karena hanya satu tangki yang memiliki sumber garam eksternal.

PERTANYAAN 4

Komponen mana dalam rangkaian RLC biasanya dikaitkan dengan hubungan orde pertama $L \frac{dI}{dt} = V$?

Induktor

Kapasitor

Resistor

Sumber Tegangan

PERTANYAAN 5

Jika matriks $\mathbf{A}$ yang mewakili suatu sistem memiliki matriks fundamental $\Psi(t)$, bagaimana cara menghitung matriks fundamental khusus $\Phi(t)$ dengan $\Phi(0) = \mathbf{I}$?

$\Phi(t) = \Psi(t)\Psi(0)^{-1}$

$\Phi(t) = \Psi(t) + \mathbf{I}$

$\Phi(t) = \int \Psi(t) dt$

$\Phi(t) = \Psi(0)\Psi(t)^{-1}$